42. 交通规划

【题目描述】

给定一个平面上 $n$ 条水平直线和 $m$ 条垂直直线，它们相交形成 $n$ 行 $m$ 列的网格，从上到下第 $r$ 条水平直线和从左到右第 $c$ 条垂直直线之间的交点称为格点 $(r,c)$。网格中任意两个水平或垂直相邻的格点之间的线段称为一条边，每条边有一个非负整数边权。

进行 $T$ 次询问，每次询问形式如下：

给出 $k$ ($T$ 次询问的 $k$ 可能不同)个附加点，每个附加点位于一条从网格边缘向外出发的射线上。所有从网格边缘向外出发的射线按左上-右上-右下-左下-左上的顺序依次编号为 $1$ 到 $2n+2m$，如下图：

对于每次询问，不同附加点所在的射线互不相同。每个附加点和最近的格点之间的线段也称为一条边，也有非负整数边权(注意，在角上的格点有可能和两个附加点同时相连)。

给定每个附加点的颜色(黑色或者白色)，请你将网格内每个格点的颜色染成黑白二者之一，并使得所有两端颜色不同的边的边权和最小。请输出这个最小的边权和。

【输入格式】

第一行 $3$ 个正整数 $n,m,T$ 分别表示水平、垂直直线的数量，以及询问次数。

接下来 $n-1$ 行，每行 $m$ 个非负整数。其中第 $i$ 行的第 $j$ 个非负整数 $x1_{i,j}$ 表示 $(i,j)$ 和 $(i + 1,j)$ 间的边权。

接下来 $n$ 行，每行 $m-1$ 个非负整数。其中第 $i$ 行的第 $j$ 个非负整数 $x2_{1,j}$ 表示 $(i,j)$ 和 $(i,j + 1)$ 间的边权。

接下来依次输入 $T$ 组询问。第 $i$ 组询问开头为一行一个正整数 $k_i$ 表示这次询问附加点的总数。接下来 $k_i$ 行每行三个非负整数。其中第 $j$ 行依次为 $x3_{i,j},p_{i,j},t_{i,j}$ 表示第 $i$ 个附加点和相邻格点之间的边权、所在的射线编号以及附加点颜色($0$ 为白色，$1$ 为黑色)。保证同一组询问内 $p_{i,j}$ 互不相同。

每行的多个整数由空格分隔。

【输出格式】

输出 $T$ 行，第 $i$ 行输出一个非负整数，表示第 $i$ 次询问染色之后两端颜色不同的边权和的最小值。

【样例1输入】

2 3 1
9 4 7
3 8
10 5
2
19 3 1
17 9 0

【样例1输出】

12

【样例1解释】

最优方案：$(1,3),(1,2),(2,3)$ 为黑色；$(1,1),(2,1),(2,2)$ 为白色。

【样例2/3/4/5】

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【数据规模与约定】

对于所有数据，$2\leq n,m\leq 500,1\leq T\leq 50,1\leq k\leq \min\{2(n+m),50\},1\leq \sum_{i=1}^Tk_i\leq 50,$ $0\leq x\leq 10^6,1\leq p\leq 2(n+m),t\in\{0,1\}$。

保证对于每个 $i\in\{1,T\},p_{i,j}$ 互不相同。

【来源】

CSP2021 提高组 Task4