4195. [CSP-J 2025 T4]多边形

【题目描述】

小 R 喜欢玩小木棍。小 R 有 $n$ 根小木棍，第 $i$ ($1 \leq i \leq n$) 根小木棍的长度为 $a_i$。

小 X 希望小 R 从这 $n$ 根小木棍中选出若干根小木棍，将它们按任意顺序首尾相连拼成一个多边形。小 R 并不知道小木棍能拼成多边形的条件，于是小 X 直接将条件告诉了他：对于长度分别为 $l_1, l_2, \dots, l_m$ 的 $m$ 根小木棍，这 $m$ 根小木棍能拼成一个多边形当且仅当 $m \geq 3$ 且所有小木棍的长度之和大于所有小木棍的长度最大值的两倍，即 $\sum_{i=1}^{m} l_i > 2 \times \max_{i=1}^{m} l_i$。

由于小 R 知道了小木棍能拼成多边形的条件，小 X 提出了一个更难的问题：有多少种选择小木棍的方案，使得选出的小木棍能够拼成一个多边形？你需要帮助小 R 求出选出的小木棍能够拼成一个多边形的方案数。两种方案不同当且仅当选择的小木棍的下标集合不同，即存在 $1 \leq i \leq n$，使得其中一种方案选择了第 $i$ 根小木棍，但另一种方案未选择。由于答案可能较大，你只需要求出答案对 $998,244,353$ 取模后的结果。

【输入格式】

输入的第一行包含一个正整数 $n$，表示小 R 的小木棍的数量。

输入的第二行包含 $n$ 个正整数 $a_1, a_2, \dots, a_n$，表示小 R 的小木棍的长度。

【输出格式】

输出一行一个非负整数，表示小 R 选出的小木棍能够拼成一个多边形的方案数对 $998,244,353$ 取模后的结果。

【样例1输入】

5
1 2 3 4 5

【样例1输出】

9

【样例1说明】

共有以下 $9$ 种选择小木棍的方案，使得选出的小木棍能够拼成一个多边形：

1. 选择第 $2, 3, 4$ 根小木棍，长度之和为 $2 + 3 + 4 = 9$，长度最大值为 $4$;

2. 选择第 $2, 4, 5$ 根小木棍，长度之和为 $2 + 4 + 5 = 11$，长度最大值为 $5$;

3. 选择第 $3, 4, 5$ 根小木棍，长度之和为 $3 + 4 + 5 = 12$，长度最大值为 $5$;

4. 选择第 $1, 2, 3, 4$ 根小木棍，长度之和为 $1 + 2 + 3 + 4 = 10$，长度最大值为 $4$;

5. 选择第 $1, 2, 3, 5$ 根小木棍，长度之和为 $1 + 2 + 3 + 5 = 11$，长度最大值为 $5$;

6. 选择第 $1, 2, 4, 5$ 根小木棍，长度之和为 $1 + 2 + 4 + 5 = 12$，长度最大值为 $5$;

7. 选择第 $1, 3, 4, 5$ 根小木棍，长度之和为 $1 + 3 + 4 + 5 = 13$，长度最大值为 $5$;

8. 选择第 $2, 3, 4, 5$ 根小木棍，长度之和为 $2 + 3 + 4 + 5 = 14$，长度最大值为 $5$;

9. 选择第 $1, 2, 3, 4, 5$ 根小木棍，长度之和为 $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$，长度最大值为 $5$。

【样例2输入】

5
2 2 3 8 10

【样例2输出】

6

【样例2说明】

共有以下 $6$ 种选择小木棍的方案，使得选出的小木棍能够拼成一个多边形：

1. 选择第 $1, 2, 3$ 根小木棍，长度之和为 $2 + 2 + 3 = 7$，长度最大值为 $3$;

2. 选择第 $3, 4, 5$ 根小木棍，长度之和为 $3 + 8 + 10 = 21$，长度最大值为 $10$;

3. 选择第 $1, 2, 4, 5$ 根小木棍，长度之和为 $2 + 2 + 8 + 10 = 22$，长度最大值为 $10$;

4. 选择第 $1, 3, 4, 5$ 根小木棍，长度之和为 $2 + 3 + 8 + 10 = 23$，长度最大值为 $10$;

5. 选择第 $2, 3, 4, 5$ 根小木棍，长度之和为 $2 + 3 + 8 + 10 = 23$，长度最大值为 $10$;

6. 选择第 $1, 2, 3, 4, 5$ 根小木棍，长度之和为 $2 + 2 + 3 + 8 + 10 = 25$，长度最大值为 $10$。

【样例3,4】

样例下载

样例3满足测试点 $7 \sim 10$ 的约束条件。

该样例4满足测试点 $11 \sim 14$ 的约束条件。

【数据规模与约定】

对于所有测试数据，保证：

- $3 \leq n \leq 5,000$;

- 对于所有 $1 \leq i \leq n$，均有 $1 \leq a_i \leq 5\,000$。