感觉像是什么很复杂的博弈，应该是结论题，但是我不会猜结论。

考虑一些简单的做法，先特判掉 $n\le 3$ 的情况，因为此时一步能到达所有格子。

其他情况考虑二分答案 $mid$，判断能否得到 $\ge mid$ 的分数，这样令 $b_i=[a_i<mid]$，我们将问题转化为能否取到 $0$。

若 $b_i$ 的 $1$ 的个数 $\le 2$，因为此时 $n>3$，一定可以取到 $0$。

否则，令 $b_0=b_{n+1}=1$，若 $b_{x-1}+b_x+b_{x+1}\le 1$，则一定能取到，因为无论如何交换，第一步都能走到一个 $0$，否则则一定能控制 $b_{x-1},b_x,b_{x+1}$ 都是 $1$，必输。

然后做就行了，复杂度为 $O(Tn\log V)$。

官方题解。来源：清华大学学生算法协会仓库

$n\leq 2$ 的情况可以特判。

可以发现，任意时刻，如果 The BOT 在位置 $x$，那么可以移动到相邻位置之一，无论 The NIT 怎么操作，The BOT 至少可以得到相邻位置的次小值并结束。

另外，当 $n\geq 3$ 时，可以先走到一个 $1<x<n$ 的位置，此时一定可以有三个选项。所以至少可以获得全局的第三小值。

于是一个答案的下界就是 $\max($相邻位置次小值，全局第三小值$)$，容易发现这也是一个上界，如果答案更大，那么将小于答案的看成 $0$，大于等于的看成 $1$，那么全局有 $\geq 3$ 个 $0$，且初始与位置相邻的位置至多有一个 $1$，The NIT 始终可以把一个 $0$ 交换过来，使得 The BOT 周围的三个数都是 $0$。